Normale Berechnung und Beispielvektor

Er Normaler Vektor Es ist eines, das die Richtung senkrecht zu einer geometrischen Einheit definiert, die beispielsweise für eine Kurve, eine Ebene oder eine Oberfläche sein kann.

Es ist ein sehr nützliches Konzept bei der Positionierung eines mobilen Teilchens oder einer Oberfläche im Raum. In der folgenden Grafik ist es möglich zu sehen, wie der normale Vektor einer willkürlichen Kurve ist C:

Abbildung 1. Eine C -Kurve mit dem normalen Vektor zur Kurve an Punkt P. Quelle: SVJO [CC BY-SA 3.0 (https: // creativecommons.Org/lizenzen/by-sa/3.0)]]

Betrachten Sie einen Punkt P auf der Kurve c. Der Punkt kann ein mobiles Teilchen darstellen, das sich nach einer c -veränderten Straße bewegt. Die Linie -Tangente an die Kurve an Punkt P erscheint rot gezeichnet.

Beachten Sie, dass der Vektor T Es ist tangential zu C an jedem Punkt, während der Vektor N ist senkrecht zu T und zeigt auf die Mitte eines imaginären Umfangs, dessen Bogen ein Segment von C ist. Die Vektoren werden in einem fett gedruckten Text bezeichnet, um sie von anderen Nicht -Vektor -Größen zu unterscheiden.

Der Vektor T Es zeigt immer an, wo sich das Teilchen bewegt. Stattdessen der Vektor N Zeigen Sie immer in die Richtung, in die sich das Partikel dreht, auf diese Weise die Konkavität der C -Kurve an.

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Wie man den normalen Vektor in eine Ebene bringt?

Der normale Vektor ist nicht unbedingt ein Einheitsvektor, dh ein Vektor, dessen Modul 1 ist, aber wenn ja, heißt es Normaler Einheitsvektor.

Figur 2. Auf der linken Seite eine P -Ebene und die beiden normalen Vektoren zu diesem Flugzeug. Rechts die Einheitsvektoren in die drei Richtungen, die den Raum bestimmen. Quelle: Wikimedia Commons. Siehe Seite für Autor [Public Domain]

In zahlreichen Anwendungen ist es erforderlich, den normalen Vektor zu einer Ebene anstelle einer Kurve zu kennen. Dieser Vektor macht die Ausrichtung der genannten Ebene im Raum bekannt. Betrachten Sie beispielsweise das Flugzeug P (gelb) der Abbildung:

Es kann Ihnen dienen: Gemine: Ursprünge, Eigenschaften und wie man sie beobachtet

Diese Ebene haben zwei normale Vektoren: N₁ Und N₂. Die Verwendung des einen oder anderen hängt vom Kontext ab, in dem diese Ebene gefunden wird. Das Erhalten des normalen Vektors in eine Ebene ist sehr einfach, wenn die Gleichung bekannt ist:

ax + nach + cz + d = 0, mit Zu, B, C Und D reale Nummern.

Nun, ein normaler Ebenenvektor ist gegeben durch:

N = a Yo + B J + C k

Hier der Vektor N wird in Bezug auf die Einheitsvektoren und senkrecht zueinander ausgedrückt Yo, J Und k, in den drei Richtungen gerichtet, die den Raum bestimmen X und z, Siehe Abbildung 2 rechts.

Der normale Vektor aus dem Vektorprodukt

Ein sehr einfaches Verfahren, um den normalen Vektor zu finden, nutzt die Eigenschaften des Vektorprodukts zwischen zwei Vektoren.

Wie bekannt ist, bestimmen drei verschiedene Punkte und nicht kolineal miteinander, eine P -Ebene. Jetzt ist es möglich, zwei Vektoren zu erhalten oder Und v das gehört zu diesem Flugzeug mit diesen drei Punkten.

Sobald die Vektoren sind, die Vektorprodukt oder X v Es ist eine Operation, deren Ergebnis ein Vektor ist, der die Eigenschaft hat, senkrecht zur Ebene zu sein von oder Und v.

Bekannt dieser Vektor, wird er als bezeichnet als N, Und daraus können dank der im vorhergehenden Abschnitt angegebenen Gleichung die Gleichung der Ebene bestimmen:

N = oder X v

Die folgende Abbildung zeigt das beschriebene Verfahren:

Figur 3. Mit zwei Vektoren und ihrem Vektor oder Kreuzprodukt wird die Gleichung der Ebene, die die beiden Vektoren enthält. Quelle: Wikimedia Commons. Kein maschinenlesbarer Autor zur Verfügung gestellt. M.Romero Schmidtke nahm an (basierend auf Urheberrechtsansprüchen). [Public Domain]

Beispiel

Finden Sie die durch Punkte A (2,1,3) bestimmte Gleichung der Ebene; B (0,1,1); C (4,2,1).

Kann Ihnen dienen: Kontinuitätsgleichung

Lösung

Diese Übung zeigt das oben beschriebene Verfahren. Durch 3 Punkte wird einer von ihnen als häufiger Ursprung von zwei Vektoren ausgewählt, die zur Ebene gehören, die durch diese Punkte definiert ist. Zum Beispiel wird Punkt A als Ursprung festgelegt und Vektoren werden gebaut Ab Und AC.

Der Vektor Ab Es ist der Vektor, dessen Ursprung Punkt A ist und dessen Ende Punkt B ist. Vektorkoordinaten Ab Die Koordinaten von B der Koordinaten von A:

Ab = (0-2) Yo + (1-1) J + (1-3) k = -2Yo + 0J -2 k

Fahren Sie auf die gleiche Weise fort, um den Vektor zu finden AC:

AC = (4-2) Yo + (2-1) J + (1-3) k = 2Yo + J -2 k

Vektorproduktberechnung AB x ac

Es gibt mehrere Verfahren, um das Vektorprodukt zwischen zwei Vektoren zu finden. In diesem Beispiel wird ein mnemonisches Verfahren verwendet, das die folgende Abbildung verwendet Yo, J Und K:

Figur 4. Grafik, um das Vektorprodukt zwischen den Einheitsvektoren zu bestimmen. Quelle: Selbst gemacht.

Zu Beginn ist es gut, sich daran zu erinnern, dass Vektorprodukte zwischen parallelen Vektoren ungültig sind, daher:

Yo X Yo = 0; J X J = 0; k X k = 0

Und da das Vektorprodukt ein weiterer Vektor senkrecht zu den teilnehmenden Vektoren ist und sich in Richtung des roten Pfeils bewegt, den Sie haben:

Yo X J = k ; J X k = Yo; k X Yo = J

Wenn Sie sich gegen den Pfeil bewegen müssen, wird ein Zeichen (-) hinzugefügt:

J X Yo = - k; k X J = -Yo; Yo X k = -J

Insgesamt ist es möglich, 9 Vektorprodukte mit den Einheitsvektoren herzustellen Yo, J Und k, von denen 3 nichtig sein werden.

Ab X AC = (-2Yo + 0J -2 k) X (2Yo + J -2 k) = -4 (Yo X Yo) -2 (Yo X J) +4 (Yo X k) +0 (J X Yo) + 0 (J X J) - 0 (J X k) - 4 (k X Yo) -2 (k X J) + 4 (k X k) = -2k-4J-4J+2Yo = 2Yo -8J-2k

Ebenengleichung

Vektor N wurde durch das zuvor berechnete Vektorprodukt bestimmt:

Kann Ihnen dienen: Pendelbewegung

N = 2Yo -8J-2k

Daher ist a = 2, b = -8, c = -2, der gefragte Plan ist:

Ax + nach + cz + d = 0 → 2x-8y-2z + d = 0

Der Wert von D. Dies ist einfach, wenn die Werte einer der Punkte A, B oder C in der Ebenengleichung ersetzt werden. Beispiele für C zum Beispiel:

x = 4; y = 2; Z = 1

Bleibt übrig:

2.4 - 8.2 - 2.1 + d = 0

-10 + d = 0

D = 10

Kurz gesagt, das gewünschte Flugzeug ist:

2x-8y-2z +10 = 0

Der neugierige Leser kann sich fragen, ob das gleiche Ergebnis erzielt worden wäre, wenn es statt tun würde Ab X AC Es wäre ausgewählt worden AC X Ab. Die Antwort lautet Ja, die durch diese drei Punkte bestimmte Ebene ist einzigartig und hat zwei normale Vektoren, wie in Abbildung 2 gezeigt.

Was den ausgewählten Punkt als Ursprung der Vektoren betrifft, gibt es auch keine Unannehmlichkeiten bei der Auswahl einer der anderen beiden.

Verweise

1. Figueroa, d. (2005). Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Kinematik. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB). 31-62.
2. Finden der Normalen zu einem Flugzeug. Abgerufen von: Web.ma.Utexas.Edu.
3. Larson, r. (1986). Berechnung und analytische Geometrie. Mc Graw Hill. 616 - 647.
4. Linien und Pläne in R 3. Erholt von: Mathematik.Harvard.Edu.
5. Normaler Vektor. Von Mathworld geborgen.Wolfram.com.