Resultierende Vektorberechnung, Beispiele, Übungen

Er resultierender Vektor Es ist diejenige, die durch eine Operation mit Vektoren erhalten wird, deren Ergebnis auch ein Vektor ist. Normalerweise ist dieser Vorgang die Summe von zwei oder mehr Vektoren, durch die ein Vektor erhalten wird, dessen Effekt äquivalent ist.

Auf diese Weise werden Vektoren wie Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Kraft erhalten. Zum Beispiel, wenn mehrere Kräfte auf einen Körper wirken F₁, F₂, F₃,.. . Die Vektorsumme all dieser Kräfte entspricht der Nettokraft (der resultierenden), die sich mathematisch ausdrückt:

F₁ + F₂ + F₃ +… = F_R  entweder F_N

Abbildung 1. Das Schneegewicht wird über der Decke verteilt und seine Wirkung kann durch eine einzelne resultierende Kraft ersetzt werden, die an der entsprechenden Stelle angewendet wird. Quelle: Pixabay.

Der resultierende Vektor, unabhängig davon. Da die Vektoren neben dem numerischen Wert eine Richtung und einen Sinn haben, reicht es nicht aus, die Module hinzuzufügen, um den resultierenden Vektor zu haben.

Dies gilt nur in dem Fall, in dem die beteiligten Vektoren in die gleiche Richtung sind (siehe Beispiele). Andernfalls ist es erforderlich, Vektorsummenmethoden zu verwenden, die je nach Fall geometrisch oder analytisch sein können.

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Beispiele

Geometrische Methoden zur Ermittlung des resultierenden Vektors sind die Polygon -Methode und die Parallelogrammmethode.

In Bezug.

Geometrische Methoden zum Hinzufügen von zwei Vektoren

Angenommen, die Vektoren oder Und v (Wir bezeichnen sie fett, um sie vom Skalar zu unterscheiden). In Abbildung 2) haben wir sie im Flugzeug befinden. In Abbildung 2 b) hat es sich so in Vektor V bewegt, dass sein Ursprung mit dem Ende von zusammenfällt oder. Der resultierende Vektor geht aus dem Ursprung des ersten (oder) zur Spitze der letzten (v):

Es kann Ihnen dienen: Kompressibilität: Feststoffe, Flüssigkeiten, Gase, Beispiele Figur 2. Der resultierende Vektor aus der grafischen Summe der Vektoren. Quelle: Selbst gemacht.

Die Abbildung, die in diesem Fall resultiert, ist ein Dreieck (ein Dreieck ist ein 3 -seitiges Polygon). Wenn wir zwei Vektoren in die gleiche Richtung haben, ist das Verfahren gleich: Platzieren Sie einen der Vektoren nach dem anderen und zeichnen.

Beachten Sie, dass die Reihenfolge, in der dieses Verfahren erfolgt, keine Rolle spielt, da die Summe der Vektoren kommutativ ist.

Beachten Sie auch, dass in diesem Fall die Modul (Die Länge oder Größe des resultierenden Vektors ist die Summe der Module der zusätzlichen Vektoren, im Gegensatz zum vorherigen Fall, in dem das resultierende Vektormodul geringer ist als die Summe der Module der Teilnehmer.

Parallelogrammmethode

Diese Methode ist sehr geeignet, wenn Sie zwei Vektoren hinzufügen müssen, deren Ursprungsstellen mit dem Ursprung eines X-Y-Koordinatensystems zustimmen müssen. Angenommen, dies ist der Fall unserer Vektoren oder Und v (Figur 3):

Figur 3. Summe von zwei Vektoren mittels der Parallelogrammmethode mit dem resultierenden Vektor in türkisblau. Quelle: Selbst gemacht.

In Abbildung 3b) wurde ein Parallelogramm mit Hilfe paralleler gepunkteter Linien aufgebaut oder bereits v. Der resultierende Vektor hat seinen Ursprung in O und sein Ende an dem Punkt, an dem sich die gepunkteten Linien kreuzen. Dieses Verfahren entspricht vollständig dem im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen.

Übungen

-Übung 1

Finden Sie bei den folgenden Vektoren den resultierenden Vektor unter Verwendung der polygonalen Methode.

Es kann Ihnen dienen: Lichtreflexion Figur 4. Vektoren, um es durch die polygonale Methode zu finden. Übung 1. Quelle: Selbst gemacht.

Lösung

Die polygonale Methode ist die erste der gesehenen Methoden. Denken Sie daran, dass die Summe der Vektoren kommutativ ist (die Reihenfolge der Ergänzungen ändert die Summe nicht), sodass Sie beispielsweise mit einem der Vektoren beginnen können oder (Abbildung 5a) oder R (Abbildung 5b):

Abbildung 5. Summe von Vektoren durch die polygonale Methode. Quelle: Selbst gemacht.

Die erhaltene Abbildung ist ein Polygon und der resultierende Vektor (in Blau) wird genannt R. Wenn Sie mit einem anderen Vektor beginnen, kann die gebildete Figur unterschiedlich sein, wie im Beispiel zu sehen ist, aber der resultierende Vektor ist der gleiche.

Übung 2

In der folgenden Abbildung ist bekannt, dass die Module der Vektoren oder Und v sind u = 3 willkürliche Einheiten und v = 1.8 willkürliche Einheiten. Der Winkel der oder Form mit der positiven x -Achse beträgt 45 º v bilden Sie 60 º mit der y -Achse, wie in der Abbildung zu sehen ist. Finden Sie den resultierenden Vektor, die Größe und Richtung.

Lösung

Im vorhergehenden Abschnitt wurde der resultierende Vektor gefunden, als die Parallelogrammmethode angewendet wurde (in der Abbildung in Türkis).

Ein einfacher Weg, um den resultierenden Vektor analytisch zu finden, besteht darin, die Vektoren hinsichtlich ihrer kartesischen Komponenten hinzuzufügen. Dies ist eine leichte Aufgabe, wenn Modul und Winkel bekannt sind, wie beispielsweise die Vektoren dieses Beispiels:

oder_X = u . cos 45º = 3 x cos 45 º = 2.12; oder_Und = u . Sünde 45 º = 3x Sen 45º = 2.12

v_X = v . Sen 60º = 1.8 x sen 60 º = 1.56; v_Und = -V . cos 60 º = -1.8 x cos 60º = - 0.9

Kann Ihnen dienen: Pendelbewegung

Die Vektoren oder Und v Sie sind Vektoren zur Ebene, die jeweils zwei Komponenten haben. Der U -Vektor befindet sich im ersten Quadranten und seine Komponenten sind positiv, während Vektor V im vierten Quadranten ist; Seine X -Komponente ist positiv, aber ihre Projektion auf der vertikalen Achse fällt in die Achse und negativ.

Berechnung der kartesischen Komponenten des resultierenden Vektors

Der resultierende Vektor fügt algebraisch die jeweiligen Komponenten X und Y hinzu, um seine kartesischen Komponenten zu erhalten:

R_X = 2.12 + 1.56 = 3.68

R_Und = 2.12 + (-0.9) = 1.22

Sobald die kartesischen Komponenten angegeben wurden und der Vektor vollständig bekannt ist. Der resultierende Vektor kann mit der Notation in quadratischen Klammern ausgedrückt werden (Klammern):

R = willkürliche Einheiten

Die Halterungsnotation wird verwendet, um einen Vektor von einem Punkt in der Ebene (oder im Weltraum) zu unterscheiden. Eine andere Möglichkeit, den resultierenden Vektor auf analytische Weise auszudrücken, ist die Verwendung von Einheitsvektoren Yo und j im Flugzeug (Yo, J Und k Im Weltall):

R = 3.68 Yo + 1.22 J willkürliche Einheiten

Da beide Komponenten des resultierenden Vektors positiv sind, der Vektor R Es gehört zum ersten Quadranten, der bereits grafisch gesehen wurde.

Größe und Richtung des resultierenden Vektors

Die kartesischen Komponenten bekannt, wird die Größe von R seit dem resultierenden Vektor durch den Pythagoras -Theorem berechnet R, neben seinen Komponenten r_X und r_Und Sie bilden ein richtiges Dreieck:

Größe oder Modul: r = (3.68² + 1.22²)^½ = 3.88

Adresse Q die positive X -Achse als Referenz nehmen: q = Arcan (r_Und / R_X) = arctg (1.22/3.68) = 18.3

Verweise

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2. Figueroa, d. Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Kinematik.31-68.
3. Physisch. Modul 8: Vektoren. Geborgen von: frtl.Utn.Edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechaniker für Ingenieure. Statisch. 6. Ausgabe. Kontinental Redaktionsfirma. 15-53.
5. Additionsrechnervektor. Erholt von: www.1728.Org