Definition, Bedingungen, Übungen ohne Koplanare Vektoren

Der Nicht -Cooplanares -Vektoren Sie sind diejenigen, die nicht das gleiche Flugzeug teilen. Zwei freie Vektoren und ein Punkt definieren eine einzelne Ebene. Ein dritter Vektor kann diese Ebene teilen oder nicht, und wenn dies nicht der Fall ist, handelt es sich um nicht -Koplanar -Vektoren.

Nicht -Kopplet -Vektoren können nicht in zwei dimensionalen Räumen wie einer Platine oder einem Blatt Papier dargestellt werden, da einige von ihnen in der dritten Dimension enthalten sind. Um sie richtig darzustellen, müssen Sie die Perspektive verwenden.

Abbildung 1. Coplanares und Nichtkupplungsvektoren. (Eigene Ausarbeitung)

Wenn wir Abbildung 1 beobachten, befinden sich alle Objekte streng in der Ebene des Bildschirms, dank der Perspektive kann sich unser Gehirn jedoch eine Ebene (P) vorstellen, die aus demselben herauskommt.

Auf dieser Ebene (P) sind die Vektoren R, S, oder, während Vektoren v Und W  Sie sind nicht in diesem Flugzeug.

Deshalb die Vektoren R, S, oder Sie sind Coplanarios oder Coplanares miteinander, da sie dieselbe Ebene haben (P). Die Vektoren v Und W Sie teilen keine Wohnung mit einem der anderen gezeigten Vektoren, daher sind sie nicht gekoppelt. 

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Coplanares- und Ebenengleichungsvektoren

Eine Ebene ist einzigartig definiert, wenn im dreidimensionalen Raum drei Punkte angegeben sind.

Angenommen, diese drei Punkte sind der Punkt ZU, Punkt B und der Punkt C das definiert das Flugzeug (P). Mit diesen Punkten ist es möglich, zwei Vektoren zu bauen AB = U Und AC = v die durch Bau mit dem Flugzeug sind (P).

Das Vektorprodukt (oder das Kreuzprodukt) dieser beiden Vektoren führt zu einem dritten senkrechten (oder normalen) Vektor für sie und daher senkrecht zur Ebene (P):

n = u X v   => N ⊥ oder  Und N ⊥ v   => N ⊥ (P)    

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Jeder andere Punkt, der zum Flugzeug gehört (P) muss erfüllen, dass der Vektor Aq senkrecht zum Vektor sein N; Dies entspricht der Aussage, dass das Skalarprodukt (oder das Punktprodukt) von N mit Aq Es muss Null sein:

N • Aq = 0 (*)

Die vorherige Bedingung entspricht der Aussage:

Aq • (oder X v) = 0 

Diese Gleichung stellt sicher, dass der Punkt Q gehören zum Flugzeug (P). 

Kartesische Gleichung der Ebene

Die vorherige Gleichung kann auf kartesische Weise geschrieben werden. Dazu schreiben wir die Koordinaten der Punkte ZU, Q und die Komponenten des normalen Vektors N:

A = (a, b, c)

Q = (x, y, z)

N= (NX, NY, NZ)

Damit die AQ -Komponenten sind:

Aq= (X-a, y-b, z-c)

Der Zustand für den Vektor Aq im Flugzeug enthalten sein (P) Es ist der Zustand (*), der jetzt so geschrieben ist:

(NX, NY, NZ) • (X-A, Y-B, Z-C) = 0

Berechnung des Punktprodukts bleibt:

nx (x-a) + ny (y-b) + nz (z-b) = 0

Wenn es sich entwickelt und neu ordnet, bleibt es:

nx x + ny y + nz z = nx a + ny b + nz c

Der vorherige Ausdruck ist die kartesische Gleichung einer Ebene (P), Abhängig von den Komponenten eines normalen Vektors zu (P) und die Koordinaten eines Punktes ZU was gehört zu (P).

Bedingungen für drei Vektoren, die nicht -Kooplanares sind

Wie der Zustand im vorherigen Abschnitt beobachtet wurde Aq • (oder X v) = 0 garantiert den Vektor Aq Es ist Coplanario a oder Und v.

Wenn wir anrufen W zum Vektor Aq Dann können wir das bestätigen:

W, oder Und v Sie sind Coplanares, ja und nur wenn W • ( oder X v ) = 0.

Bedingung der Nichtbehabe

Wenn sich das dreifache (oder gemischte Produkt) von drei Vektoren von Null unterscheidet.

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Ja    W • ( oder X v ) ≠ 0, dann sind die U-, V- und W-Vektoren Nicht-Kopplanarios.

Wenn die kartesischen Komponenten der U, V, V und W eingeführt werden, kann der Zustand des Nicht-Verhaltens wie folgt geschrieben werden:

Das heißt, wenn die Determinante der Matrix (3 × 3), deren Zeilen die Komponenten der U-, V- und W-Vektoren sind.

Das Dreifachprodukt hat eine geometrische Interpretation und repräsentiert das Volumen der Parallelepiped, die durch die drei nicht -Cooplanares -Vektoren erzeugt werden.

Figur 2. Drei Nichtkupplungsvektoren definieren ein Parallelepipedo, dessen Volumen das Triple-Produktmodul ist. (Eigene Ausarbeitung)

Der Grund ist wie folgt; Wenn zwei der Nichtkupplungsvektoren multiplizieren. 

Dann, wenn dieser Vektor multipliziert ist. 

Mit anderen Worten, Sie haben den Parallelogrammbereich, der durch die ersten beiden multipliziert mit der Höhe des dritten Vektors erzeugt wird.

Alternative Erkrankung der Nichtkupplung

Wenn Sie drei Vektoren haben und einer von ihnen kann nicht als lineare Kombination der beiden anderen geschrieben werden, dann sind die drei Vektoren Nicht-Umschläge. Das sind drei Vektoren oder, v Und W Sie sind Nicht-Umzug, wenn die Bedingung:

α oder + β v + γ W = 0

Es wird nur erfüllt, wenn α = 0, β = 0 und γ = 0 erfüllt sind.

Gelöste Übungen

-Übung 1

Sie haben drei Vektoren

oder = (-3, -6, 2);   v = (4, 1, 0) und W = (-1, 2, z)

Beachten Sie, dass die Z -Komponente des Vektors ziert W Es ist unbekannt.

Finden Sie den Wertebereich, den Z einnehmen kann, damit garantiert ist.

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Lösung 

Wir wenden erneut das Kriterium der Determinante der Matrix an, die durch die Reihen der drei Vektoren gebildet wird, auf diese Weise:Wir entwickeln die Determinante

W • ( oder X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3Z + 24Z + 18 = 21Z + 18

Wir stimmen mit diesem Ausdruck mit Nullwert überein

21 Z + 18 = 0

und wir klären z z

Z = -18/21 = -6/7

Wenn die Variable Z den Wert -6/7 nahm, wären die drei Vektoren Coplanares.

Damit die Werte von Z, die garantieren, dass die Vektoren nicht überzogen sind, sind diejenigen, die im folgenden Intervall enthalten sind:

Z ∈ (-∞, -6/7) u (-6/7, ∞)

-Übung 2

Ermitteln Sie das Volumen des in der folgenden Abbildung gezeigten Parallelepiped:

Lösung 

Um das Volumen der in der Abbildung gezeigten Parallelepiped zu finden. Der erste ist der Vektor oder  4m und parallel zur x -Achse:

oder= (4, 0, 0) m

Der zweite ist der Vektor v In der XY 3M -Größenebene, die 60º mit der x -Achse bildet:

v= (3*cos 60º, 3*sen 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

Und den dritten der Vektor W von 5 m und deren Projektion in der XY -Ebene 60º mit der x -Achse bildet, bilden Sie zusätzlich 30 ° mit der Z -Achse.

W= (5*sin 30º*cos 60º, 5*sen 30º*sin 60º, 5*sen 30º)

Führte die Berechnungen durch, die wir haben: W= (1.25, 2.17, 2.5m.

Verweise

1. Figueroa, d. Serie: Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. Kinematik. 31-68.
2. Physisch. Modul 8: Vektoren. Geborgen von: frtl.Utn.Edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechaniker für Ingenieure. Statisch. 6. Ausgabe. Kontinental Redaktionsfirma.28-66.
4. McLean, w. Schaum -Serie. Mechaniker für Ingenieure: statisch und dynamisch. 3. Auflage. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Erholt von: Es ist.Wikipedia.Org