Charakteristische Einheitsvektoren, wie man es herausholt, Beispiele

Der Einheitsvektoren sind diejenigen, deren Modul, Größe oder Größe dem numerischen Wert gleich ist. Die Einheitsvektoren sind nützlich, um die Richtung anderer Nicht -Einheiten -Vektoren anzugeben.

Erinnern Sie sich daran, dass Vektoren mathematische Einheiten sind, die mathematisch die physikalischen Größen darstellen, die von der Richtung abhängen, wie Festigkeit, Geschwindigkeit, Beschleunigung und andere.

Die bekanntesten Einheitenvektoren sind die drei Vektoren, die in die Richtungen der kartesischen Achsen gehen. Quelle: f. Zapata.

Unabhängig von der assoziierten physikalischen Größe sind die Einheitsvektoren Entitäten ohne Maßeinheiten und ihre Größe ist immer 1, eine reine Zahl.

Zum Beispiel wird die Geschwindigkeit eines Teilchens, das sich bei 3 m/s bewegt und in die positive Richtung der kartesischen X -Achse geht, bezeichnet: v = (3 m/s) Yo, Wo mit dem fetten Buchstaben die Vektormengen bezeichnet. In diesem Beispiel das Modul von v Es ist 3 m/s und das Einheitsvektormodul Yo ist 1 (ohne Einheiten).

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Modul, Richtung und Bedeutung

Angesichts der wichtigen. Zum Zeitpunkt der Darstellung einer Vektormenge ist es notwendig, diese Aspekte klar anzuzeigen.

Jetzt kann ein Einheitsvektor eine Richtung und die Bedeutung haben, die bevorzugt wird, aber die Größe muss immer gleich 1 sein.

Einheitsvektoren werden verwendet, um eine private Adresse im Raum oder im Flugzeug anzugeben. Wenn wir zum Beispiel mit allen Kräften arbeiten müssen, die entlang der horizontalen Achse wirken, da ein Einheitsvektor in diese Richtung uns hilft, diese Kräfte von anderen zu unterscheiden, die in eine andere Richtung gerichtet sind.

Und um sie von nicht -Einheiten -Vektoren zu unterscheiden, wird der Fett normalerweise in gedruckter Form verwendet und platziert beispielsweise einen Circumflex -Akzent darauf:

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Für handgeschriebene Texte reicht es aus, das Circumflejo zu platzieren, um zu verstehen, dass es sich um einen Einheitsvektor handelt.

Eigenschaften eines Einheitsvektors

Mathematisch der Einheitsvektor:

Es ist ein Element, das zu einem Vektorraum ℛ von Dimension n gehört, so dass |v| = 1, wo die Balken "Modul" bedeuten.

So können wir das feststellen:

-Das einheitliche Vektormodul ist immer 1, es spielt keine Rolle, ob es sich um eine Stärke, Geschwindigkeit oder einen anderen Vektor handelt.

-Einheitsvektoren haben eine bestimmte Richtung sowie eine Richtung, wie den Einheitsvektor in vertikaler Richtung, der möglicherweise nach oben oder unten sinkt.

-Einheitsvektoren haben einen Ursprungspunkt. Wenn der Punkt durch ein kartesisches Koordinatensystem dargestellt wird, fällt der Punkt mit dem Ursprung des Systems zusammen: (0.0), wenn es sich um die Ebene oder (0,0,0) handelt, wenn sich der Vektor im dreidimensionalen Raum befindet.

Die Eigenschaften des Einheitsvektors. Quelle: Wikimedia Commons.

-Auch bei den Einheitsvektoren können alle Vorgänge von Summe, Subtraktion und Vektormultiplikation von regulären Vektoren durchgeführt werden. Daher ist es gültig, den Einheitsvektor mit einem Skalar zu multiplizieren und das Punktprodukt und das Kreuzprodukt auszuführen.

-Mit einem Einheitsvektor in eine bestimmte Richtung können auch andere Vektoren ausgedrückt werden, die auch in dieser Richtung ausgerichtet sind.

Die Einheitenvektoren im Raum

Um einen Vektor im Weltraum oder in der Ebene auszudrücken, können Sie eine Reihe von einheitlichen Vektoren senkrecht zueinander verwenden, die eine ortonormale Basis bilden. Jede der drei bevorzugten Richtungen des Raums hat einen eigenen Einheitsvektor.

Kehren wir zum Beispiel der Kräfte zurück, die entlang der horizontalen Achse gerichtet sind. Dies ist die x -Achse, die zwei Möglichkeiten hat: Richtung nach rechts und Richtung nach links. Angenommen, es gibt einen Einheitsvektor auf der x -Achse und rechtzeitig, den wir durch eine dieser Formen bezeichnen können:

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Jeder von ihnen ist gültig. Nehmen Sie nun eine Kraft an F₁ von Größe 5 N entlang dieser Achse und nach rechts gerichtet, könnte eine solche Kraft ausgedrückt werden als:

Wenn die Kraft entlang der x -Achse gerichtet wäre, aber in die entgegengesetzte Richtung, dh links, könnte ein negatives Vorzeichen verwendet werden, um diesen Unterschied festzustellen.

Zum Beispiel würde eine 8 -n -Kraft der Größe, die sich auf der X -Achse befindet und links gerichtet ist, wie folgt:

Oder so:

Und für Vektoren, die nicht entlang der kartesischen Äxte gerichtet sind.

So entfernen/berechnen Sie den Einheitsvektor?

Berechnung des Einheitsvektors in Richtung eines beliebigen Vektors v, Die folgende Formel wird angewendet:

Wo:

Es ist das Modul oder die Größe des Vektors v, dessen Quadrat so berechnet wird:

|v|² = (v_X)² +  (v_Und)²+  (v_z)²

Ein willkürlicher Vektor in Bezug auf den Einheitsvektor

Alternativ der Vektor v Es kann wie folgt ausgedrückt werden:

Das heißt das Produkt seines Moduls durch den entsprechenden Einheitsvektor. Genau das wurde zuvor getan, als sie über die Kraft von 5 n Größe sprach, die entlang der positiven X -Achse gerichtet ist.

Grafische Darstellung

Graphischerweise wird in diesem Bild gesehen, wo der Vektor v Es ist blau und der entsprechende Einheitsvektor in seine Richtung ist rot.

In diesem Beispiel der Vektor v Es hat eine Größe größer als die des Einheitsvektors, aber die Erklärung ist sogar gültig, wenn dies nicht passiert. Mit anderen Worten, wir können Vektoren haben, die zum Beispiel 0 sind.25 -mal der Einheitsvektor.

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Beispiele für Einheitsvektoren

Die senkrechten Einheitenvektoren I, J und K

Wie wir schon einmal gesehen haben, senkrechte Einheitenvektoren Yo, J Und k Sie sind sehr nützlich, um einen anderen Vektor in der Ebene oder in den Raum zu repräsentieren und Vektoroperationen durchzuführen. In Bezug auf den Vektor ist ein willkürlicher Vektor V als:

v = v_X Yo + v_Und J + v_z k

Wo v_X, v_Und und v_z sind die rechteckigen Komponenten des Vektors v, Die Anstiege -amb-.

Coulomb-Gesetz

Einheitliche Vektoren treten häufig in der Physik auf. Dort haben wir zum Beispiel das Coulomb -Gesetz, das die Wechselwirkung zwischen zwei spezifischen elektrischen Ladungen quantitativ beschreibt.

Es zeigt an, dass die Kraft F der Anziehung oder Abstoßung zwischen diesen Lasten ist proportional zum Produkt von ihnen, umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstand.

Dieser Vektor wird normalerweise dargestellt durch:

Und Coulombs Gesetz ist in einer Vektorform so:

Wo k Es ist die elektrostatische Konstante, Q₁ Und Q₂ Sie sind die Lasten und R Es ist die Entfernung, die sie trennt.

Übung gelöst

Finden Sie den Einheitsvektor in Richtung des Vektors v = 5Yo + 4J -8k, In willkürlichen Einheiten gegeben.

Lösung

Die Definition des obigen einheitlichen Vektors wird oben angewendet:

Aber zuerst müssen Sie das Vektormodul berechnen, das bei drei Komponenten bestimmt wird, wenn:

|v|² = (v_X)² +  (v_Und)² +  (v_z)²

Bleiben:

|v|² = (5)² +  (4)² +  (-8)²= 25 + 16 + 64 = 105

Daher das Modul von v Ist:

|v| = √105

Der durchsuchte einheitliche Vektor ist einfach:

Das führt uns schließlich zu:

v = 0.488 Yo + 0.390 J - 0.781 k

Verweise

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4. Giambattista, a. 2010. Physik. 2. Ed. McGraw Hill.
5. Resnick, r. (1999). Physisch. Vol. 1. 3. Aufl. in Spanisch. Kontinentaler Redaktionsgesellschaft s.ZU. von c.V.