Durchschnittsdefinition und Formeln der Winkelgeschwindigkeit, gelöste Übungen

Der Durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit der Rotation ist definiert als der Winkel, der durch die Vektorzeiteinheitsposition eines Punktes gedreht wird, der die kreisförmige Bewegung beschreibt. Die Klingen eines Deckenventilators (wie in Abbildung 1 gezeigt) folgen der kreisförmigen Bewegung und deren durchschnittliche Drehgeschwindigkeit wird berechnet, indem das Verhältnis zwischen dem Drehwinkel und der Zeit, in der dieser Winkel zurückgelegt wurde.

Die Regeln, die von der Rotationsbewegung gefolgt sind. Die zurückgelegten Entfernungen können auch in Messgeräten gemessen werden.

Abbildung 1. Lüfterblätter haben Winkelgeschwindigkeit. Quelle: Pixabay

Griechische Buchstaben werden normalerweise für Winkelgrößen und lateinische Buchstaben für die entsprechenden linearen Größen verwendet.

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Definition und Formeln

Abbildung 2 repräsentiert die Bewegung eines Punktes auf einer kreisförmigen Flugbahn c. Die Position P des Punktes entspricht dem Augenblick t und die Winkelposition, die diesem Moment entspricht. 

Von dem Moment an, in dem eine Zeitspanne verstrichen ist ΔT. In diesem Zeitraum ist die neue Position des Punktes p 'und die Winkelposition hat einen Winkel Δϕ erhöht.

Figur 2. Kreisbewegung eines Punktes. Quelle: Selbst gemacht

Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit ω ist der Winkel, der pro Zeiteinheit zurückgelegt wird, so dass der Quotient Δϕ/δt die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit zwischen den Momenten T und T+ΔT darstellt:

Da der Winkel in Radiant und Zeit in Sekunden gemessen wird, ist die Einheit der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit rad/s. Wenn Sie die berechnen möchten Winkelgeschwindigkeit Gerade zum Zeitpunkt t muss der Quotient Δϕ/Δt berechnet werden, wenn Δt ➡0.

Die Maßeinheit der sofortigen Winkelgeschwindigkeit ist ebenfalls rad/s.

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Einheitliche Rotation

Eine Rotationsbewegung ist einheitlich, wenn jeder Moment beobachtet wird, der bewegte Winkel im gleichen Zeitraum der gleiche ist. Wenn die Drehung gleichmäßig ist, fällt die Winkelgeschwindigkeit in jedem Moment mit der durchschnittlichen Winkelgeschwindigkeit zusammen.

In einer einheitlichen Rotationsbewegung wird die Zeit, in der eine vollständige Kurve aufgerufen wird Zeitraum Und es wird mit t bezeichnet. 

Wenn der Winkel voll ist, ist er 2π, so dass die Winkelgeschwindigkeit ω in einer gleichmäßigen Drehung mit der T -Periode nach der folgenden Formel zusammenhängt:

Der Frequenz F einer einheitlichen Rotation wie dem Verhältnis zwischen der Anzahl der Kurven und der Zeit, die sie für das Reisen aufgewendet haben, dh in der Zeit der Zeit ΔT gibt es dann die Frequenz:

F = n/Δt

Als Runde (n = 1) ist es in einer Zeit t (der Periode) bewegt, die folgende Beziehung ist verfügbar:

F = 1/t

Das heißt, in einer gleichmäßigen Rotation hängt die Winkelgeschwindigkeit mit der Frequenz durch die Beziehung zusammen:

Ω = 2π ・ f

Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit und linearer Geschwindigkeit

Lineare Geschwindigkeit v, Es ist der Quotient zwischen der zurückgelegten Strecke und dem Zeitraum, mit dem er gefahren ist. In Abbildung 2 ist die zurückgelegte Entfernung die Länge des Bogens ΔS. 

Das Bogen ΔS ist proportional zum Winkel Δϕ und das Funk r, was die folgende Beziehung erfüllt:

ΔS = r ・ δϕ

Immer wenn Δϕ in Radians gemessen wird.

Wenn wir den vorherigen Ausdruck zwischen dem Zeitraum ΔT teilen, erhalten wir:

(ΔS/δt) = r ・ (Δϕ/Δt)

Das erste Mitgliedsverhältnis ist die lineare Geschwindigkeit und der Quotient des zweiten Elements die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit:

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v = r ・ ω

Gelöste Übungen

-Übung 1

Die in Abbildung 1 gezeigten Spitzen der Dachlüfungsklingen bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 5 m/s und die Klingen sind 40 cm Radius.

Bei diesen Daten berechnen: i) die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit des Rad.

Lösung 

i) Die lineare Geschwindigkeit beträgt V = 5 m/s.

Das Radio ist r = 0,40 m.

Aus der Beziehung zwischen linearer Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit löschen wir letztere:

v = r ・ ω => ω = v/r = (5 m/s)/(0,40 m) = 12,57 rad/s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 drehen / s

iii) t = 1 / f = 1 / (2 drehen / s) = 0,5 s pro Runde.

-Übung 2

Ein Spielzeugspaziergang bewegt sich auf einer kreisförmigen 2 -m -Radius -Spur. Bei 0S beträgt seine Winkelposition 0 rad, aber nach einer Zeit, die seine Winkelposition ist

φ (t) = 2 ・ t .

Mit diesen Daten 

i) Berechnen Sie die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit in den folgenden Zeitintervallen [0s, 0.5s]; [0.5s, 1.0s]; [1.0, 1.5s] und schließlich in der Zeit [0).0, 1.5s]. 

ii) Basierend auf den Ergebnissen von Teil i) Was kann über die Bewegung gesagt werden?

iii) Bestimmen Sie die durchschnittliche lineare Geschwindigkeit im gleichen Zeitraum von Abschnitt I)

iv) Finden Sie die Winkelgeschwindigkeit und lineare Geschwindigkeit für jeden Moment.

Lösung 

i) Die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit wird durch die folgende Formel angegeben:

Wir berechnen den in jedem Intervall befahrenen Winkel und die Zeitspanne verstrichen.

Intervall 1: Δϕ = ϕ (0.5s) - ϕ (0.0s) = 2 (rad/s)*0.5s - 2 (rad/s)*0.0s = 1.0 rad

                   ΔT = 0.5s - 0.0s = 0.5s

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                   Ω = δϕ/Δt = 1.0Rad/0.5s = 2.0 rad/s

Intervall 2: Δϕ = ϕ (1.0s) - ϕ (0.5s) = 2 (rad/s)*1.0s - 2 (rad/s)*0.5s = 1.0 rad

                   ΔT = 1.0s - 0.5s = 0.5s

                   Ω = δϕ/Δt = 1.0Rad/0.5s = 2.0 rad/s

Intervall 3: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (1.0s) = 2 (rad/s)*1.5s - 2 (rad/s)*1.0s = 1.0 rad

                   ΔT = 1.5s - 1.0s = 0.5s

                   Ω = δϕ/Δt = 1.0Rad/0.5s = 2.0 rad/s

Intervall 4: Δϕ = ϕ (1.5s) - ϕ (0.0s) = 2 (rad/s)*1.5s - 2 (rad/s)*0.0s = 3.0 rad

                   ΔT = 1.5s - 0.0s = 1.5s

                   Ω = Δϕ/Δt = 3.0RAD/1.5s = 2.0 rad/s

ii) In Anbetracht der vorherigen Ergebnisse, in denen die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit in verschiedenen Zeitintervallen berechnet wurde. Diese Ergebnisse sind jedoch nicht schlüssig.

Der Weg, um die Schlussfolgerung zu gewährleisten, besteht darin, die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit für ein willkürliches Intervall [t, t -t) zu berechnen

                                     Δt = t ' - t

                                     Ω = δϕ/Δt = 2*(t'-t)/(t'-t) = 2.0 rad/s

Dies bedeutet, dass der Spielzeugspaziergang in einem beliebigen Zeitraum eine konstante durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit von 2 rad/s aufweist. Sie können jedoch weiter gehen, wenn sofortige Winkelgeschwindigkeit berechnet wird:

Dies wird immer als Spielzeugauto interpretiert.

Verweise

1. Giancoli, d. Physik. Prinzipien mit Anwendungen. 6. Ausgabe. Prentice Hall. 30-45.
2. Kirkpatrick, l. 2007. Physik: Ein Blick auf die Welt. 6^ta Abgekürzte Ausgabe. Cengage Lernen. 117.
3. Resnick, r. (1999). Physisch. Band 1. Dritte Ausgabe auf Spanisch. Mexiko. Kontinentaler Redaktionsgesellschaft s.ZU. von c.V. 33-52.
4. Serway, r., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Ingenieurwesen. Band 1. 7. Auflage. Mexiko. Cengage Learning Editoren. 32-55.
5. Wikipedia. Winkelgeschwindigkeit. Erholt von: Wikipedia.com